In this paper, we develop a Taylor

In this paper, we develop a Taylor expansion (TE) based fast multipole method (FMM)for low frequency 3D Helmholtz Green’s function in layered media. Two forms ofTaylor expansions, with either non-symmetric or symmetric derivatives of layered mediaGreen’s functions, are used for the implementations of the proposed TE-FMM. In theimplementation with non-symmetric derivatives, an algorithm based on discrete compleximage approximations and recurrence formulas is shown to be very efficient and accuratein computing the high order derivatives. Meanwhile, the implementation based onsymmetric derivatives is more robust and pre-computed tables for the high orderderivatives in translation operators are used. Numerical tests in layered media havevalidated the accuracy and O(N) complexity of the proposed algorithms.

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在本文中，我们 针对分层介质中的低频3D亥姆霍兹格林函数，开发了基于泰勒展开（TE）的快速多极方法（FMM）。所提出的TE-FMM的实现使用两种形式的 泰勒展开式，其中包括分层介质 格林函数的非对称或对称导数。在 使用非对称导数的实现中，基于离散复杂 图像逼近和递归公式的算法显示出 在计算高阶导数时非常有效且准确。同时，基于 对称导数的实现更为健壮，并 使用了转换算子中针对高阶导数的预先计算表。分层介质中的数值测试 验证了所提出算法的准确性和O（N）复杂度。

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In this paper, we develop a Taylor expansion (TE) based fast multipole method (FMM) for low frequency 3D Helmholtz Green’s function in layered media. Two forms of Taylor expansions, with either non-symmetric or symmetric derivatives of layered media Green’s functions, are used for the implementations of the proposed TE-FMM. In the implementation with non-symmetric derivatives, an algorithm based on discrete complex image approximations and recurrence formulas is shown to be very efficient and accurate in computing the high order derivatives. Meanwhile, the implementation based on symmetric derivatives is more robust and pre-computed tables for the high order derivatives in translation operators are used. Numerical tests in layered media have validated the accuracy and O(N) complexity of the proposed algorithms.

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本文提出了一种基于泰勒展开（TE）的快速多极子方法（FMM） 用于层状介质中的低频3D亥姆霍兹格林函数。两种形式 层状介质非对称或对称导数的泰勒展开 格林函数，用于所提出的TE-FMM的实现。在 一种基于离散复形的非对称导数实现算法 图像逼近和递推公式被证明是非常有效和精确的 在计算高阶导数时。同时，基于 对称导数对于高阶系统更为稳健，且是预先计算的表 在翻译运算符中使用导数。层状介质中的数值试验 验证了算法的准确性和O（N）复杂度。

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