In 1988, Bertozzi extended the Smal

In 1988, Bertozzi extended the Smale-Birkhoff Homoclinic Theorem and the Melnikov method so they are applicable to heteroclinic bifurcations for smooth systems [10]. It is natural to ask if the transversal intersections of the perturbed stable and unstable manifolds of a heteroclinic orbit of PWS systems result in chaotic motions. Unfortunately, the Heteroclinic Theorem of Berttozzi [10] requires the corresponding Poincar´e map to be differentiable. Thus it can not be applied to PWS systems because this condition is not satisfied by most of the PWS systems. Nevertheless, the study of heteroclinic bifurcations in time-perturbed PWS systems has attracted more and more attentions. Heteroclinic bifurcations for models of periodically excited slender rigid blocks were studied in the works of Bruhn and Koch [11], Hogan [28], Lenci and Rega in [33]. In [23], Granados, Hogan and Seara presented the Melnikov method for heteroclinic and subharmonic bifurcations in a periodically excited piecewise planar Hamiltonian system with two zones. The Melnikov method for heteroclinic bifurcations of a planar PWS system with impacts and of a general planar PWS system with finitely many zones were developed in [34] and [42] respectively. Although not rigorously proved, numerical simulations on concrete examples given in these works suggest that chaotic behavior can be resulted from heteroclinic bifurcations in PWS systems.Recently, by applying the aforementioned functional analytic method developed by Battelli and Feˇckan in [4–8,19], Li and Du [35] studied the appearance of chaos in time-perturbed n-dimensional PWS systems with heteroclinic orbit. They derived a set of Melnikov type functions whose zeros correspond to the occurrence of chaos of the system. To reduce the complexity, they assumed that the switching manifolds are supersurfaces intersecting at a connected (n − 2)-dimensional submanifold, the unperturbed system has a hyperbolic saddle in each subregion and a heteroclinic orbit connecting those saddles that crosses every switching manifold transversally exactly once. However, in real applications, discontinuities of a PWS system may occur on more complicated sets and impacts may occur when the flow of the system reaches the switching manifolds. Thus it is necessary to extend the results obtained in [35] to systems with other types of switching manifolds and other types of PWS systems, for example, systems with impacts considered in [23,34].

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在1988年，Bertozzi教授延长斯梅尔 - 伯克霍夫同宿定理与Melnikov方法所以它们适用于为光滑系统[10]异分叉。这是很自然要问，如果改动的稳定和PWS系统的异宿轨道的不稳定流形的横向交叉导致混沌运动。不幸的是，Berttozzi [10]的异宿定理需要对应Poincar'e地图是可微的。因此，因为这种情况不被大多数PWS系统满足它不能适用于PWS系统。然而，异分叉的时间改动的PWS系统的研究已引起越来越多的关注。用于周期性地激发细长刚性块的模型异分岔进行了研究在布鲁恩和科克[11]，霍根[28]，Lenci和雷加的作品中[33]。在[23]，格拉纳多斯，Hogan和希拉呈现在一个周期激励分段平面Hamilton系统具有两个区域对于异和次谐波分岔Melnikov方法。用于与影响，并用有限多个区域的一般平面PWS系统的平面PWS系统的异分岔Melnikov方法在[34]和[42]分别被开发出来。虽然不是严格证明，在这些作品中给出具体的例子数值模拟表明，混沌行为可以从PWS系统异分支来产生。用于与影响，并用有限多个区域的一般平面PWS系统的平面PWS系统的异分岔Melnikov方法在[34]和[42]分别被开发出来。虽然不是严格证明，在这些作品中给出具体的例子数值模拟表明，混沌行为可以从PWS系统异分支来产生。用于与影响，并用有限多个区域的一般平面PWS系统的平面PWS系统的异分岔Melnikov方法在[34]和[42]分别被开发出来。虽然不是严格证明，在这些作品中给出具体的例子数值模拟表明，混沌行为可以从PWS系统异分支来产生。 最近，通过应用由Battelli和Feckan在[4-8,19]开发前述官能分析法，Li和都[35]研究了混乱的出现时间，扰动的n维PWS系统与异轨道。它们衍生的一组的Melnikov型功能，其零点对应于系统的混乱的发生。为了减少复杂性，它们假定交换歧管是supersurfaces在连通（n - 2）相交维流形，未受扰动的系统具有在每个子区域双曲线鞍和异宿轨道连接跨越每个交换歧管横向地准确那些鞍座一旦。然而，在实际应用中，可能更复杂的集和冲击发生时系统的流量达到上述切换歧管可能发生PWS系统的不连续性。

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1988年，贝尔托齐扩展了斯马莱-伯克霍夫同源定理和梅尔尼科夫方法，使其适用于平滑系统的异质分叉[10]。很自然地，可以问，PWS 系统异位轨道的扰动稳定和不稳定歧管的横向交叉是否会导致混沌运动。不幸的是，贝尔托齐的异质定理[10]要求相应的庞卡地图是可区分的。因此，由于大多数 PWS 系统都未满足此条件，因此无法应用于 PWS 系统。然而，对时间干扰PWS系统中异体分叉的研究却越来越受到人们的关注。在布鲁恩和科赫[11]、霍根[28]、伦西和雷加的[33]的作品中，研究了周期性激发细长硬质块模型的异质分叉。在[23]中，格拉纳多斯、霍根和西拉提出了梅尔尼科夫方法，用于具有两个区域的周期性兴奋平面汉密尔顿系统中的异音分叉和亚谐波分叉法。分别在[34]和[42]中开发了Melnikov方法，用于具有影响的平面PWS系统和具有有限多区域的一般平面PWS系统的异构分叉方法。尽管没有经过严格证明，但对这些工程中给出的具体实例进行数值模拟表明，混沌行为可能是PWS系统中异质分叉造成的。 最近，通过应用Battelli和Fe_ckan在[4[8，19]中开发的上述功能分析方法，李和杜[35]研究了具有异位轨道的受时间干扰的n维PWS系统中混沌的出现。他们推导出了一组梅尔尼科夫类型函数，其零对应于系统混乱的发生。为了降低复杂性，他们假设开关歧管是超表面相交的，在连接（n = 2）维子网处相交，未扰动系统在每个次区域都有一个双曲鞍，并且连接这些鞍座的异体轨道跨越每个开关歧管完全一次。然而，在实际应用中，PWS 系统的不连续性可能发生在更复杂的集上，当系统流到达开关歧管时，可能会发生影响。因此，有必要将 [35] 中获得的结果扩展到具有其他类型的开关歧管系统和其他类型的 PWS 系统的系统，例如[23，34] 中考虑有影响的系统。

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1988年，Bertozzi推广了Smale-Birkhoff同宿定理和Melnikov方法，使其适用于光滑系统的异宿分支[10]。问PWS系统的异宿轨道的扰动稳定流形和不稳定流形的横向交集是否导致混沌运动是很自然的。不幸的是，Berttozzi[10]的异宿定理要求对应的Poincar'e映射是可微的。因此它不能应用于PWS系统，因为大多数PWS系统都不满足这个条件。然而，对时间扰动PWS系统的异质分支的研究越来越受到人们的关注。Bruhn和Koch[11]、Hogan[28]、Lenci和Rega在[33]中研究了周期激励细长刚性块体模型的异宿分支。在文献[23]中，Granados、Hogan和Seara提出了周期激励的两区分段平面哈密顿系统中异宿和次谐波分叉的Melnikov方法。在文献[34]和[42]中分别建立了具有碰撞的平面PWS系统和具有有限多个区域的一般平面PWS系统的Melnikov方法。虽然没有得到严格的证明，但对这些工作中给出的具体例子的数值模拟表明，混沌行为可能是由PWS系统中的异质分叉引起的。 最近，运用Battelli和Feˇckan在[4–8,19]中提出的泛函分析方法，Li和Du[35]研究了具有异宿轨道的时摄动n维PWS系统的混沌现象。他们导出了一组Melnikov型函数，其零点对应于系统混沌的发生。为了减少复杂性，他们假设交换流形是在连接的（N，2）维子流形上相交的超曲面，无扰动系统在每个子区域中都有双曲鞍，并且一个异宿轨道，连接那些横跨每个交换歧管的横鞍正好一次。然而，在实际应用中，PWS系统的不连续性可能发生在更复杂的集合上，并且当系统的流量到达切换流形时可能会发生影响。因此，有必要将在[35]中获得的结果扩展到具有其他类型切换流形的系统和其他类型的PWS系统，例如，具有在[23,34]中考虑的影响的系统。

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