It is worth pointing out that, whil

It is worth pointing out that, while the eigenfrequencies of undamped or proportionally damped systems are univocally determined, the eigenvectors are not. In fact, the eigenproblem leaves the scaling factor undetermined. However, it affects only the amplitude, while the shape (that is to say, the relative values of the components of the mode shape vector) remains unchanged. For this reason, conventional scaling procedures are usually adopted to normalize the mode shape vectors. A frequently adopted scaling scheme is based on the orthogonality of natural modes with respect to the mass and stiffness matrices of the structure. The pre- and post-multiplication of those matrices by the modal matrix ［①］, which collects the mode shape vectors in columns, yield the following diagonal matrices:

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值得指出的是，虽然无阻尼或成比例阻尼的系统的特征频率是唯一确定的，但特征向量却不是。实际上，本征问题使比例因子不确定。但是，它仅影响幅度，而形状（即模式形状矢量的分量的相对值）保持不变。因此，通常采用常规的缩放过程来对模式形状矢量进行归一化。经常采用的缩放方案基于自然模式相对于结构的质量和刚度矩阵的正交性。这些矩阵与模态矩阵［①］的乘积前和乘积后，<br>它们在各列中收集众数形状矢量，得出以下对角矩阵：

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值得指出的是，虽然未阻尼或按比例阻尼系统的eigen频率是单声决定的，但eigen矢量则不是。事实上，eigen 问题使缩放因子不确定。但是，它只影响振幅，而形状（即模式形状矢量的分量的相对值）保持不变。因此，通常采用传统的缩放过程来规范化模式形状矢量。一个经常采用的缩放方案基于自然模式相对于结构质量和刚度矩阵的正交性。模态矩阵[（1）]对这些矩阵的乘法和乘法后乘以，<br>在列中收集模式形状矢量，产生以下对角矩阵：

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值得指出的是，无阻尼或比例阻尼系统的本征频率是单音确定的，而本征向量不是单音确定的。事实上，特征问题使得尺度因子不确定。然而，它只影响振幅，而形状（也就是说，模态形状向量的分量的相对值）保持不变。因此，通常采用传统的尺度化方法来规范化振型矢量。通常采用的比例方案是基于固有模态相对于结构质量和刚度矩阵的正交性。这些矩阵与模态矩阵的前后相乘〔①〕，<br>它收集列中的振型向量，生成下列对角矩阵：

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